DÜZGÜN DAİRESEL HAREKET

Periyot: Düzgün dairesel hareket yapan cismin, bir tam devir yapması için geçen zamana periyot denir, T ile gösterilir.
Frekans: Düzgün dairesel hareket yapan cismin bir saniyedeki dönme sayısına frekans denir, f ile gösterilir. Periyotla frekans arasında T.f = 1 bağıntısı vardır. Buradan f = 1  olur.
                                          T
Konum vektörü ( r ): Çemberin merkezini cisme birleştiren yarıçap vektörüdür. Yönü daima merkezden cisme doğrudur.Dairesel hareket yapan  bir cisim yol alır. Yarıçap vektörü açı tarar. O nedenledir ki, dairesel harekette , çizgisel hız ve açısal hız olmak üzere iki çeşit hız tanımlanır.
   
Çizgisel hız ( v ):  Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin daire çevresinde birim zamanda aldığı yola çizgisel hız denir. ( v ) ile gösterilir.

Açısal hız () : Yarıçap vektörünün birim zaman içinde taradığı açıya açısal hız denir. Cisim t saniyede  açısını taramış ise, açısal hız  =   olur. Cisim bir tam dönme yaptığında geçen
                      t
zaman T ve yarıçap vektörü tarafından taranan açı 2  radyan olduğundan,  = 2   veya     
                                 T
 = 2  f olur.
   Bir açının gördüğü yayın yarıçapa oranı , bu açının radyan cinsinden değeridir.
360 = 2  radyandır.
Nicelik   Periyot   Frekans   Çizgisel hız   Açısal hız
Sembol   T   F   v   
Birim   S   1/ s veya s -1   m/ s   Radyan / s
m kütleli bir topun, r uzunluğunda bir ipin ucuna bağlandığını ve yatay düzlemdeki dairesel yörüngede sabit hızla döndürüldüğünü varsayalım. Topun eylemsizliği, hareketin doğrusal bir yol boyunca kalmasını sağlamak eğilimindedir. Ancak, ipin topa uyguladığı kuvvet, dairesel yörüngede kalmasını sağlar. Bu kuvvet, ip boyunca ve merkeze yönelmiş durumdadır. Bu kuvvet merkezcil kuvvetler olarak adlandırılan kuvvetler sınıfına bir örnektir.

Newton’un ikinci yasasını yarıçap doğrultusu boyunca uygularsak, gerekli merkezcil kuvvet,
 F r = ma r = m v 2
      r
olarak bulunur. Merkezcil ivmeye benzer şekilde, merkezcil kuvvet de parçacığın çizdiği dairesel yörüngenin merkezine doğru etki eder. Bu kuvvetler, dönme merkezine doğru etkidiklerinden, hızın doğrultusunda bir değişmeye neden olurlar. Merkezcil kuvvetler, karşılaşılan diğer kuvvetlerden farklı değildir. Merkezcil terimi, basitçe kuvvetin daire merkezine yönelmiş olmasından dolayı kullanılır. Bir ipin ucuna bağlanarak döndürülen top durumunda;merkezcil kuvvet, ipteki gerilme kuvvetidir. Dünya etrafında dairesel yörüngede dönen bir uydu için, kütle çekim kuvveti bir merkezcil kuvvettir. Virajı dönen bir araba için sürtünme kuvveti merkezcil kuvvettir. Buna benzer pek çok örnek verilebilir
Kullanılan örneklere bakılmaksızın bir cismin üzerine etki eden merkezcil kuvvet ortadan kalkarsa, cisim dairesel hareketini sürdüremez;dairesel yörüngeye teğet olan doğrusal yörüngede hareket eder. İp herhangi bir anda koparsa cisim, ipin koptuğu anda yörüngeye teğet çizilen doğru boyunca hareketini sürdürür.
Genelde bir cisim, sürtünme kuvveti, çekim kuvveti veya değişik kuvvetlerin bileşkesinin etkisiyle dairesel hareket yapabilir. Şimdi, bazı düzgün dairesel hareket örneklerini inceleyelim.her durumda, cismin dairesel yörüngede dolanmasına neden olan dış kuvveti veya kuvvetleri görelim.
                                   
Harekette merkezcil kuvvet ipteki  T gerilmesi olduğundan; T= Fmerkezcil eşitliğinden bulunur:
                                  T = F merkezcil
                T = m v 2
                   r
eşitliğinden v çözülerek,
                     
                v =    T r
                m
elde edilir.


Ne Kadar Hızlı Dönebilir?
  Harekette merkezcil kuvvet ipteki T gerilmesi olduğundan T = Fmerkezcil eşitliğinden bulunur.
             
ÖRNEK:
  0,5 kg kütleli bir top, 1,5 m uzunluğunda kablonun ucuna bağlanmıştır. Yatay düzlemde, dairesel yörüngede hızla dönüyor. Kablo 50 N luk maksimum gerilmeye dayanabiliyorsa, kopmadan önce topun sahip olabileceği maksimum hız nedir?

ÇÖZÜM:
  Topun sahip olabileceği maksimum hız, T gerilmesinin maksimum değerine karşı gelen hızdır.Böylece verilen değerler yerine konularak maksimum hız bulunur.
 
   V mak =     T mak r  =  ( 50 N) (1,5 m )  = 12,2 m / s
               m          0,5 kg
KONİK SARKAÇ :
  Küçük bir cisim  L uzunluklu iple tavana asılmıştır. Bu cisim gibi  r yarıçaplı yatay dairesel bir yörünge üzerinde sabit v hızıyla dönmektedir. Askı ipinin bir koni yüzeyi taramış olmasında dolayı bu sistem  konik sarkaç olarak tanımlanır.

Cismin Hızı ve Tp Periyodu:
   m kütlesi için serbest-cisim diyagramı görülmektedir. Burada T gerilmesi, T cos  değerinde düşey bileşene, T sin   değerinde dönme merkezine yönelmiş yatay bileşene ayrılmıştır. Cisim düşey doğrultuda ivmelendiğinden, gerilmenin düşey ağırlık tarafından dengelenmelidir. Bundan dolayı;

      T cos  = m g

olur. Örnekteki merkezcil kuvvet T sin tarafından sağlandığı için, Newton’un ikinci yasasından; 
      T sin   = m a r = m v 2
                     r
yazılır.(2) eşitliği, (1) eşitliğine bölünüp T yok edilerek

      tan  = v 2
          r g

bulunur.Fakat şekle göre r = L sin  olduğuna dikkat edilirse

      v =  r g tan   =   L g sin  tan  

olduğu bulunur. Tp  dolanma periyodu (T gerilmesi ile karıştırılmamalıdır) aşağıdaki gibi elde edilir.
      T p = 2  r  =       2  r   =  2      L cos 
          v      r g tan          g

       (3) eşitliğinin eldesinde kullanılan cebirsel işlem okuyucuya bırakıldı. Tp nin m kütlesinden bağımsız olduğuna dikkat ediniz. L= 1,00 m. ve  =20 ise (3) eşitliğini kullanarak Tp  yi hesaplayabiliriz;

      T p = 2      (1,00 m )( cos 20 )   =  1,95 s
               9,80 m / s 2

Arabanın Maksimum Hızı Nedir?
  Arabanın dairesel yörüngede hareket etmesine imkan sağlayan merkezcil kuvvet statik sürtünme kuvvetidir. Buna göre aşağıdaki eşitlikte sürtünme kuvveti bulunur;

      f s = m v 2
                   r

Arabanın virajı dönebileceği maksimum hız, arabanın yoldan dışarı doğru kaymasına karşı gelen hızdır. Bu noktada statik sürtünme kuvveti aşağıda verilen maksimum değere sahiptir;

      f s maks  = K N

Bu duruma N normal kuvvet, ağırlığa eşittir.

ÖRNEK:
  1500 kg kütleli bir araba düz bir yolda, 35 m yarıçaplı bir virajda hareket etmektedir. Yol ile tekerlekler arasındaki statik sürtünme katsayısı kuru zemin için 0,50 ise, arabanın emniyetli olarak dönebileceği maksimum hızı bulunuz.

ÇÖZÜM:
 F s  max = (0,5).(1500kg).(9,8 m/s2) =7350 N

 V max =    f s max r   = 13,1 m / s
      m
Dönemeçli  Yokuş:
  Eğimli olmayan dönemeçte, merkezcil kuvvet araba ile yol arasındaki sürtünme kuvveti tarafından sağlanmalıdır. Ancak yol,  açısı kadar eğimli yapılırsa, N normal kuvvetinin yatay bileşeni olan  N sin   kuvveti arabanın hareket ettiği virajın merkezine doğru yönelmiştir. Burada merkezcil kuvvetin sadece N sin  kuvveti tarafından sağlandığı kabul edilmiştir. Böylece herhangi bir sürtünme kuvvetine ihtiyaç duyulmadan dönüş için gerekli olan eğim açısını bulabiliriz.Diğer bir deyimle araba belirli bir hızla yüzey buzlu olsa da virajı dönebilecektir. Yarıçap doğrultusu için Newton’un ikinci yasası yazılırsa merkezcil kuvvet elde edilir.

Uydu hareketi:
  Dünya çevresinde  dairesel yörüngede hareket eden bir uyduyu inceler.Birbirinden r kadar uzakta m1 ve m2  kütleleri iki cisim arasında ki çekim kuvvetinin

      F =  G m 1 m 2
              r 2
olduğunu bilmeliyiz.Burada G=6,672.10-11 N.m2/kg2  dir.           

Çember Etrafında Dönen Uçak:
  Pilota etkiyen kuvvetler mg ağırlığı ile koltuğun yukarı doğru uyguladığı  Nalt  dır. Merkezcil ivmeyi oluşturan yukarı yönelmiş bileşke kuvvet  N alt – mg dir. Yarıçap doğrultusu için Newton’un 2. yasası uygulanırsa

      N alt – m g = m   v 2
                 r
bulunur.

ÖRNEK:
  m kütleli bir pilot uçukla bir çember etrafımda dönmektedir. Bu uçuş düzeyinde uçak, 2,70 km yarıçaplı düşey düzlemdeki dairesel yörüngede 225 m / s lik sabit bir hızla hareket eder. Koltuğun pilota uyguladığı kuvvet (a) dairesel yörüngenin alt kısmında (b) üstünde hesaplayınız. Sonucu pilotun mg ağırlığı cinsinden bulunuz.

ÇÖZÜM:
  Yarıçap ve hız için yukarıda verilen  r = 2,70 x 103 m ve  v =225 m/s değerinin yerine konmasıyla
      N alt = m g     1  +         (225 m / s) 2                               = 2,91 m g
                (2,70 x 10 3 m) (9,80 m / s 2)

bulunur.
Böylece, koltuğun pilota uyguladığı kuvvet, pilotun mg ağırlığının 2,91 katıdır. Bu durumda, pilot gerçek ağırlığının 2,91 katı olan bir görünür ağırlık etkisindedir.

                         DÜZGÜN OLMAYAN DAİRESEL HAREKET

   Dairesel bir yörüngede, hızının şiddeti değişerek hareket eden parçacığın merkezcil ivmesinin yanında, dv / dt büyüklüğünde bir teğetsel ivmesi de vardır. Bu nedenle parçacığa etki eden kuvvetin hem merkezcil hem teğetsel bileşeni olmalıdır. Yani, toplam ivme              a = ar + at olduğundan, parçacığa etki eden toplam kuvvet  F = Fr + Ft  ile   verilir  ve  Şekil 6.8 de gösterildiği gibidir. Bu kuvvetin Fr vektör bileşeni, dairenin merkezine yönelmiştir ve merkezcil ivmeyi oluşturur. Kuvvetin Ft  vektör bileşeni yörüngeye teğettir ve teğetsel ivmenin meydana gelişinden sorumludur. Parçacığın hızının zamanla değişmesine sebep olur. Aşağıdaki örnek bu tip hareketi açıkça anlatmaktadır,
Dönen Top:
  m kütleli küçük bir küre şekil 6.9 da görüldüğü gibi R uzunluğunda bir ipin ucuna bağlanarak düşey düzlemde bir O noktası etrafında dairesel yörüngede döndürülüyor. Cismin hızının V olduğu ve ipin düşeyle    açısı yaptığı bir anda, ipteki gerilme şöyle hesaplanır;
   Hızın düzgün olmasına dikkat edilmeli, ağırlığın teğet bileşeni teğetsel ivmeyi oluşturur. Newton’un 2. hareket yasasının uygulanmasıyla
      
       Ft = mg.sin = m.at   
           at = g sin   

bulunur. İvmenin bu bileşeni V hızının zamanla değiştiğini ifade eder. Çünkü at = dv/dt dir. Newton’un 2. yasasının yarıçap doğrultusunda uygulanmasından,

       Ft  = T – m g cos  = m v 2
                      R
      
      T =  m   v 2 + g cos 
           R

olduğu bulunur.