Zenon Paradoksu

  İkinci duruma bir örnek olarak Yunanistan'ın Altın Çağında Elea adasında yaşamış olan Yunan filozof Zeno'nun çok ünlü paradokslarını verebiliriz. Zeno aşağıdaki düşünce deneyini ileri sürmüştü:

  Genç atlet Achilles kaplumbağayla yarış yapacaktır. Aşil tam olarak kaplumbağanın iki katı hızla koşmaktadır, bu nedenle de yarışın adil olması için kaplumbağaya başlangıç çizgisiyle bitiş çizgisi arasındaki uzaklığın tam ortasından başlama avansı verir. İşaret verilir ve yarış başlar. Aşil kaplumbağanın başlangıç noktasına doğru koşmaya başlar. O bunu yapıncaya kadar geçen zamanda kaplumbağa başlama noktasıyla bitiş çizgisi arasında kalan uzaklığın yarısına gelmiş olur. Aşil kaplumbağanın bu yeni konumuna doğru koşar. Oraya ulaştığında kaplumbağa kalan yolun yarısına varmıştır bile. Bu böylece devam eder. Aşil'in verilen herhangi bir uzaklığı koşması için geçen sürede kaplumbağa aynı uzaklığın yarısı kadar gitmiş olacaktır. Zeno buradan Aşil'in kaplumbağayı asla yakalayamayacağı sonucuna vardı; çünkü Aşil'in kaplumbağanın önceki konumuna ulaşması için geçen sürede kaplumbağa aynı uzaklığın yarısı kadar ileri gitmiş oluyordu.

  Bu sonuç tabii ki saçmadır. Yeterli zaman verildiği takdirde, A B'den hızlı koşuyorsa, A B'yi daima yakalar ve geçer. Zeno'un akıl yürütmesindeki hata, git gide azalan zaman basamaklarının toplamının sonsuz bir zaman aralığı vereceğini sanmaktı. Bu yanlıştır. Sonsuz küçüklerin sonsuz toplamı belirli ve sonlu bir sonuç verebilir. Aşil bitiş çizgisinde kaplumbağayı yakalar ve geçer; günlük tecrübelerimiz de bunu destekler.

  Zeno'nun paradoksu klasik Yunanlıların matematiksel düşüncesindeki bir probleme işaret ediyordu. Çok iyi gelişmiş matematikleri vardı, ancak integral ve diferansiyel cebirin temeli olan sonsuz küçükler kavramını geliştirememişlerdi. Matematikçi düşünürlerin Zeno paradokslarını ciddiye alarak onların analiz ve çözümlerine yeterli zaman ayırmış olmaları halinde Newton ve Leibnitz'in formülasyonlarından bin yıl önce integral ve diferansiyel cebiri icat etmiş olmaları kuvvetle muhtemeldi. Bu da hiç kuşkusuz bilimin gelişmesini ve tarihin akışını değiştirirdi.